| 矛盾论证，就是由证明矛盾论题之假，进而证明正面论题之真。很多人对这种证明手法感觉不自在。原因是在证明过程中，每一步到下一步完全合乎逻辑，但每一步的结论其实不能发生。这一方法的历史悠久，古代希腊数学家均已运用自如。英国近代数学家哈代说得对：“欧几里得很喜欢采用归谬法（即反证法）。这是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法还要高明。象棋弈者不过牺牲一卒或顶多一子，数学家则索性把全局拱手让予对方！”
费尔马在证明与整数的性质有关的命题时，非常巧妙地使用了反证法，这一方法被称做费尔马的无限递降法。这方法简单地说是这样的：为了证明与正整数相联系的某关系式是不可能的，我们先设：该关系式被一些正整数的特定集合满足，从这假定出发，证明同样的关系式对另一较小的正整数的集合成立。于是，再用同样的方法证明：该关系式对于另一个更小的正整数集合成立，等等以至无穷。因为正整数不能无限减小，所以，开始的假定是站不住脚的，因而，原来的关系不能成立。让我们举一个简单的例子。
例 1 证明〖 KF （〗 2 〖 KF ）〗是无理数。
假定〖 KF （〗 2 〖 KF ）〗 = 〖 SX （〗 ab 〖 SX ）〗。在这里， a 和 b 是正整数。但是
〖 KF （〗 2 〖 KF ）〗 +1= 〖 SX （〗 1 〖 KF （〗 2 〖 KF ）〗 -1 〖 SX ）〗
从而〖 SX （〗 ab 〖 SX ）〗 +1= 〖 SX （〗 1 〖 SX （〗 ab 〖 SX ）〗 -1 〖 SX ）〗 = 〖 SX （〗 ba-b 〖 SX ）〗
并且〓〓〓〖 KF （〗 2 〖 KF ）〗 = 〖 SX （〗 ab 〖 SX ）〗 = 〖 SX （〗 ba-b 〖 SX ）〗 -1= 〖 SX （〗 2b-aa-b 〖 SX ）〗 = 〖 SX （〗 a 1b 1 〖 SX ）〗
但是，因为 1 ＜〖 KF （〗 2 〖 KF ）〗＜ 2 ，以 a/b 代替〖 KF （〗 2 〖 KF ）〗后，再统统乘以 b ，故有 b ＜ a ＜ 2b 。现在，因为 a ＜ 2b ，因而有 0 ＜ 2b-a=a ，并且，由 b ＜ a ，从而有 a 1=2b-a ＜ a 。重新来一次这样的程序，得〖 KF （〗 2 〖 KF ）〗 =a 2/b 2 ，在这里 a 2 是小于 a 1 的正整数。此程可以无限地重复。因为正整数不能无限减小，所以，〖 KF （〗 2 〖 KF ）〗不能是有理数。
其实，反证法不仅在数学中有用，在人类思想领域其他方面同样有不少应用。伽利略和达尔文都曾使用此法得到重要成果。
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如同古代希腊一样，古代中国的逻辑学也是当做辩论术发展起来的。在《小取篇》一开头就指出：辩的任务，是要明确是非的区别，审议治乱的纲纪，弄清同异的所在，考察名实的原理，判明利害，解决嫌疑。就是要反映世界的本来面目，探讨各种名、辞、说的逻辑关系。以概念来反映事物，用判断来展示概念，用推理来说明原因。
按类同的原则归纳，按类同的原则演绎。自己立说要理由充足，不致被人驳倒。自己立说没有充足理由，就不要想要求别人相信。
墨子在《经说上篇》和《经说上篇》中还表明了下列的意思：命题的正反不能同时都正确，也不能同时都不正确；若 A 成立则 B 成立， A 便是 B 的“故”； B 所以成立，却不一定依靠 A 成立， B 就是 A 的“小故”； B 只是使 A 成立的条件的一部分，要是把这些条件扩充到可以保证 A 也成立， B 才是 A 的“大故”。——用今天的数学术语，“小故”是必要条件，“大故”是充分条件。 黑格尔正是在归谬论这一意义上使用辩证法这个概念的。但是他认为，归谬的结果不是否定，而否定某一论题，恰恰是肯定，即得出被否定命题成立的必然性。 ( 参看《逻辑学》第 537 —第 539 。 )
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