关于现代数学的札记
1
数学是科学的接生婆。没有数学我们的认知还会存在黑暗时代，可是就大多数人来说，数学只停在中世纪，这就短少了近 200 年左右的革命。
2
高等数学不再是复杂的计算，就计算而论，数学家赶不上会计员。
3
2+3=3+2 ，似乎是一个普遍的公式，但实际上是有局限的。例如一场正转三次 + 反转两次≠正转两次 + 反转三次
1+1 （ -1 ） =0 ，在拔河时是适用的。（矢量）
4
现代数学家对于一般规律的兴趣，远远超过对于计算的兴趣。
5
数学语言是精密的，而日常语言则是不可靠的。
6
19 世纪 60 年代，麦克斯韦想要理解电和磁位间的明显联系的实质。他研究了电和磁的四个方程，他发现这些方程在数学逻辑上是矛盾的，其中必有一个是错的。
他改正了这些方程，在一方程中增加了一个项，并把电和磁结合成为电磁。（构造）
当时人们已经认识到一个变化着的磁场将产生一个电场（因果），麦克斯韦使之获得了新意义：变化的电场也将产生一个磁场。（因果）
可是他猜测，这种新的电磁结构将符合能的一种被动状态——电磁波。接着，他算出了它的速度，光速。于是他推理，光也是一种电磁波。
若干年后，人们才确实发现了这种波。
7
现代科学只是在有了微积分以后才开始的。
8
数学上成败的标准是，有无能力作出准确的，可靠的预测？
9
在现有的哲学书中，唯心论一概被解释作为某种阶级或为政派私利而服务的学说。但从科学史上却可看出，唯心论对科学知识的发展是有贡献的。
10
那些赞同宇宙有开端的人忘记了，我们能够有把握地断言的，仅仅是存在物质的高密度状态，它与我们已知的单个性质的分布完全不同，可以怀疑，在这样的状态下能否使用空间和时间的概念，因为这些概念与衡疏的星系的性质紧密联系……世界是否由虚无中被创造的问题，不是一个科学的问题，而是一个在经验可能性之外的信仰问题，这个问题古代的哲学家和思想家们都提出过。……应该说，我们今天所知道的宇宙的无开端，可能是其他物质发展形式的一个终结。
（ M ·玻恩， P37 ，科学与哲学， 1980 ， 6 ）
11
据说，空间并不依赖于物体的位置。对此，我回答，它当然不依赖于这个或那个物体的位置。但它乃是这样一种次序，这种次序使得物体本身的分布成为可能，并且由于它，物体在一个挨一个存在时能够具有位置关系，如同时间是它们存在的先后次序一样。“没有物质就没有空间，而且空间本身决不是绝对的实体。”
12
康德《论负数概念引入哲学》：
（ 1 ）存在与认识，现实与概念，事物的逻辑与思辩的逻辑是不同的。
（ 2 ）形式逻辑不是现实事物的基础。从风的概念仅仅依据形式逻辑演绎不出雨来。
（ 3 ）数学中的负数表现了现实生活中的否定。
在形式逻辑中，肯定与否定彼此对立，但现实生活则不然。可以同类。形式逻辑不允许 a=
� 瘙 綈 a ，数学允许± a 。
（ 4 ）在现实中，矛盾和负概念具有积极的意义。
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